二、函数转化为不等式恒成立的问题是难点
【例2】 设f(x)=lg(x2－2x+a)的定义域为R，求a的取值范围；如果f(x)的值域为R，a的范围又如何呢？
分析：定义域为R转化为真数大于0恒成立，值域为R，则x2－2x+a的范围要包含(0，+∞)上所有的值即可，即 Δ≥0.
解：由条件知不等式x2－2x+a＞0的解集是R，则4－4a＜0，
解得a∈(1，+∞).如果值域是R，则真数x2－2x+a必须“取遍”所有正实数，则4－4a≥0，∴a∈(－∞，1］.
归纳：二次不等式恒成立问题通常利用二次函数图象和判别式通过数形结合的方法来思考.
【类题演练2】 已知函数y= 
的定义域为R.
(1)求实数m的取值范围；
(2)当m变化时，若y的最小值为f(m)，求f(m)的值域.
三、复合函数的定义域、值域是疑点
【例3】 已知函数f(x)的值域是［2，5］，求函数g(x)= 
－f(x)的值域.
分析：可用换元法，令 
=t，转化为关于t的二次函数求值域.
解：∵2≤f(x)≤5，
∴1≤f(x)－1≤4.
∴1≤ 
≤2.
设 
=t (1≤t≤2)，∴f(x)=t2+1.
∴g(x)=－t2+t－1=－(t－ 
)2－ 
.
∵1≤t≤2，而g(x)=－t2+t－1在［1，2］上为减函数，
∴－3≤g(x)≤－1.
归纳：本题是运用换元法、配方法，充分利用原自变量的取值，来确定新未知数的取值范围.
【类题演练3】 已知函数f(x)=x+ 
的定义域为(0，a］且a＜b，求函数f(x)的值域.
●解题方法归纳
1.根据给出函数解析式求定义域的基本题型：①y=f(x)(多项式)定义域R.
②y= 
f(x)≠0.③y= 
f(x)≥0.④y=［f(x)］0 
f(x)≠0.⑤y=logφ(x)f(x) 
⑥y=xα定义域需要讨论.⑦y=
f［φ(x)］复合函数等.常用办法是：(a)利用解不等式(组)、方程的方法求其定义域.(b)利用题设中的实际意义来规定自变量的取值.(c)利用反函数法求定义域，因为y=f(x)与y=f－1(x)定义域与值域互换，也谓“正难则反”的转化思想.(d)复合函数y=f［φ(x)］，先由y=f(u)成立的条件定u的取值范围，再由u的取值范围来确定u=φ(x)中x的取值范围.含有参数函数定义域的求法，采用分类讨论法(对参数实施).
2.求函数值域的常用方法是：观察法、配方法、判别式法、单调性法、反函数法、不等式法、换元法、图象法等.在求函数值域时要根据问题的不同特点，综合而灵活地运用不同方法求之，注重以方法将题进行分类，如：y= 
值域的求法是“Δ法”;又如y=x+ 
(x＜0)值域的求法可采用“不等式法”等.
